từ điển.

Số mũ của float32 chạy từ −126 tới +127, và lưu một số có dấu sẽ cần thêm một bit dấu riêng hoặc dùng bù hai — cả hai đều phá vỡ thứ tự. Thay vào đó, 127 được cộng vào trước, nên toàn bộ dải rơi vào 0…255 và các bit đã lưu tăng đơn điệu theo giá trị. Cái được là hai số thực dương có thể so sánh như hai số nguyên thường, mẫu bit đấu mẫu bit — đó là lý do phần cứng so sánh chỉ bằng một lệnh. Hai đầu của dải lưu trữ, toàn 0 và toàn 1, được dành riêng cho các giá trị đặc biệt.

Được Lepper, Greene và Nisbett đặt tên năm 1973, từ một thí nghiệm với các bé mẫu giáo vốn đã tự chọn vẽ trong giờ chơi tự do, chia làm ba nhóm: được hứa giấy khen trước khi vẽ, được tặng bất ngờ sau khi vẽ, và không có gì. Hai tuần sau chỉ nhóm được hứa là vẽ ít hẳn đi, và vẽ kém hơn — mà nhóm được hứa với nhóm được tặng bất ngờ đều cầm về cùng một tấm giấy khen, nên thứ gây hại không phải phần thưởng. Là lời hứa. Cái tên chính xác một cách khó chịu: vấn đề không phải thiếu lý do mà là thừa lý do. Có một lý do bên ngoài đủ tốt để giải thích hành vi rồi thì lý do bên trong thành ra không cần thiết nữa, và cái không cần thiết thì mờ dần.

Nó là căn bậc hai của phương sai mẫu, và trả lời được câu mà phương sai không trả lời nổi: lệch bao nhiêu thì vẫn là bình thường. Với đội trong bài dưới đây, con số là 6.23 point trên nền trung bình 40, tức một Sprint lệch sáu point khỏi trung bình không phải là biến cố — đó là chuyện thường ngày. Mọi thứ phía sau đều dựa vào nó: sai số chuẩn, ngưỡng phát hiện, và số Sprint mà một phép thử cần.

Toàn bộ định dạng chỉ là một quy ước: các bit là một số nguyên bình thường, và người đọc thống nhất với nhau dấu chấm nằm ở đâu — Q16.16 nghĩa là mười sáu bit phần nguyên và mười sáu bit phần lẻ, bước nhảy 2⁻¹⁶ ở mọi nơi trên trục số. Chính sự đồng đều đó là mấu chốt. Tiền tệ được đếm bằng fixed-point (hoặc bằng số nguyên đơn vị xu) vì một xu phải nặng như nhau ở mức mười và ở mức mười triệu, còn một định dạng có bước nhảy phình theo giá trị thì không hứa được điều đó. Cái nó đánh đổi là dải giá trị: cùng số bit ấy, mua được bước nhảy đều ở gần 0 thì hết sạch từ sớm ở phía trên.

Độ lệch chuẩn bằng 6 chẳng nói lên điều gì cho tới khi biết trung bình là 40 hay 4.000. Chia cho trung bình biến nó thành phần trăm và mang đi đâu cũng dùng được: đội trong bài dưới đây dao động khoảng 15%, và con số đó đặt cạnh được một đội chấm điểm trên thang hoàn toàn khác. Nó cũng là thứ gánh toàn bộ chi phí của một phép thử — cỡ mẫu cần thiết tăng theo *bình phương* của nó, nên giảm dao động của đội đi một nửa thì thời gian chờ còn một phần tư.

Nó là một giá trị, không phải một lỗi: phép tính vẫn trả về, và chương trình vẫn chạy tiếp. NaN có tính lây lan — mọi phép tính chạm vào nó đều sinh ra một NaN khác — nên một bước vô nghĩa duy nhất ở đầu một chuỗi tính toán dài vẫn còn nhìn thấy được ở cuối, thay vì bị lặng lẽ nuốt mất. Nó cũng là giá trị duy nhất không bằng chính nó, và x != x là phép thử trung thực để nhận ra nó, bởi vì bằng nhau với một thứ không phải là số thì không thể đúng. Bất đẳng thức ấy là hệ quả của định nghĩa chứ không phải một điều kỳ quặc, và đó là lý do một NaN sắp xếp rất lạ, cũng như lý do một bảng tra khóa theo số float có thể mất một mục vì nó.

Còn gọi là significand. Trong IEEE 754, phần định trị được lưu ở dạng đã chuẩn hóa, như phần lẻ đứng sau một bit 1 ngầm định — đó là lý do trường 23 bit của float32 lại cho 24 bit độ chính xác: bit đầu tiên không bao giờ được ghi ra vì nó không bao giờ là gì khác. Đây cũng là lý do độ chính xác là một *số lượng chữ số* cố định chứ không phải một bước nhảy cố định: phần định trị nói có bao nhiêu chữ số, số mũ nói chúng nằm ở đâu. Nhân đôi một giá trị không đụng tới phần định trị mà chỉ cộng một vào số mũ, nên khoảng cách tới số biểu diễn được kế tiếp cũng nhân đôi theo.

Chỗ hữu dụng của nó ở đây không phải là velocity có hình chuông, mà là *giá trị trung bình* thì gần như luôn có, bất kể nó lấy trung bình của thứ gì. Khi đó hai con số mô tả trọn bức tranh, và khoảng cách được đọc bằng đơn vị độ rộng: khoảng 68% hình chuông nằm trong một độ rộng quanh tâm, 95% nằm trong 1.96 độ rộng. Con số thứ hai chính là nơi ngưỡng phát hiện sinh ra, và là lý do duy nhất khiến một quy tắc kiểu "dưới 7 point thì đừng nói gì" có thể suy ra được thay vì đoán.

Bình phương là thứ khiến các độ lệch không triệt tiêu lẫn nhau, và cũng là lý do kết quả mang đơn vị bình phương — point bình phương, thứ chẳng có gì trên đời được đo bằng. Đó là lý do duy nhất khiến độ lệch chuẩn tồn tại: nó là căn bậc hai, lấy để quay về đúng đơn vị ban đầu. Con số n−1 không phải mẹo vặt: nếu chia cho n thì độ phân tán sẽ bị khai thấp, bởi trung bình mẫu nằm gần chính dữ liệu của nó hơn là trung bình thật.

Không thể đưa rủi ro này về 0, chỉ có thể chọn nó: đặt ở mức 5% chính là thứ đẩy ngưỡng ra xa tâm 1.96 độ rộng, còn đòi 1% thì ngưỡng còn xa hơn nữa. Vậy nên mọi ngưỡng đều là một quyết định về việc bạn chấp nhận bị đánh lừa bao nhiêu lần, đưa ra trước khi có dữ liệu. Chỉ đề phòng loại sai này thôi thì chưa đủ — đẩy ngưỡng ra xa cho chắc lại làm loại sai còn lại dễ xảy ra hơn.

Hai loại sai đánh đổi lẫn nhau: một ngưỡng đặt thật xa để tránh báo động giả cũng đúng là ngưỡng mà một tác động thật khó lòng vượt qua. Một tác động nằm đúng ngay trên ngưỡng thì chỉ bắt được một nửa số lần — sự thật khó chịu này là thứ làm cho câu "chúng ta đạt chỉ tiêu rồi" trở nên yếu ớt. Chọn bắt được tác động thật 80% số lần — lựa chọn thông thường — chính là thứ đẩy mức chênh lệch cần có vượt xa ngưỡng, và kéo theo nó là lượng dữ liệu mà một câu trả lời trung thực đòi hỏi.

Chỗ khác biệt với độ lệch chuẩn là chỗ người ta hay bỏ qua rồi hiểu sai: độ lệch chuẩn nói các quan sát riêng lẻ tản mát ra sao, còn sai số chuẩn nói cái trung bình của chúng đáng tin tới đâu. Lấy trung bình thì ổn định hơn thật, nhưng chỉ nhanh bằng √n — gấp bốn lần dữ liệu mới giảm được một nửa độ lung lay, và đó là lý do đo một tác động nhỏ đắt lên rất nhanh. Đây chính là con số quyết định chênh lệch giữa hai trung bình có nghĩa gì hay không.

Một Sprint thì ngắn, và quan trọng hơn, luôn dài bằng nhau — chính điều đó mới làm cho các con số của những Sprint khác nhau so được với nhau. Nó cũng là cỡ mẫu của mọi lập luận dựng trên velocity: một quý sáu Sprint là sáu điểm dữ liệu, và sáu là một con số nhỏ để suy luận. Mọi câu hỏi dạng "đội có nhanh hơn không?" thật ra là câu hỏi đã quan sát được bao nhiêu Sprint.

Story point cố tình không phải đơn vị thời gian: đội so một việc với những việc đã từng làm rồi gán cho nó một con số, nên thang điểm là của riêng đội đó và không có nghĩa gì khi đem so giữa các đội. Rắc rối bắt đầu khi con số này bị nhấc ra khỏi việc lập kế hoạch — chỗ nó có ích — và đặt vào việc đo năng suất, nơi nó thành một chỉ tiêu mà chính những người gán điểm có thể xê dịch. Kể cả bỏ qua chuyện đó, tổng điểm vẫn là một phép đo đầy nhiễu, và đó là nội dung của bài dưới đây.

Dưới giá trị chuẩn hóa nhỏ nhất, số mũ không còn chỗ để đi nữa, và nếu không có subnormal thì trục số sẽ nhảy thẳng từ giá trị đó về 0 — một khoảng trống lớn hơn khoảng cách giữa bất kỳ hai số liền kề nào ở phía trên. Vì vậy số mũ toàn 0 được dành riêng: bit 1 không còn ngầm định nữa, và phần định trị được đọc như một phân số thường. Các con số với tới gần 0 hơn, và trả giá bằng cách mất dần một bit độ chính xác cho mỗi lũy thừa của hai đi xuống, cho tới khi không còn gì. Cái nó mua được là tính chất a − b == 0 khi và chỉ khi a == b, điều không đúng trong một định dạng làm tròn thẳng về 0.

ULP(v) = 2^(E−p): nó phụ thuộc vào số mũ, tức là phụ thuộc vào việc giá trị lớn cỡ nào. Đây chính là sự thật duy nhất khiến số dấu chấm động hành xử theo cách của nó. Độ chính xác là *tương đối* — tỉ lệ ULP(v)/v xấp xỉ 2^−p ở mọi nơi, nên một số float giữ được xấp xỉ cùng số chữ số có nghĩa ở 0,001 cũng như ở một tỉ — và đó mới là đơn vị đúng để nói về sai số: "đúng trong phạm vi một ULP" là một phát biểu về định dạng, còn "đúng trong phạm vi 0,0001" là phát biểu sẽ thôi đúng khi các con số lớn lên.

Velocity được đo sau khi làm xong chứ không phải được lên kế hoạch: nó là những gì đội thực sự đóng lại được. Vì là phép đếm trên một cửa sổ cố định, nó dao động vì những lý do chẳng liên quan gì tới năng lực — một người nghỉ ốm, một Story hoá ra dễ hơn tưởng, một Sprint bị một sự cố nuốt mất. Chính dao động đó khiến một quý là một *chuỗi* chứ không phải một con số, và khiến mọi tuyên bố "velocity đã tăng" phải vượt qua được nhiễu trước khi có nghĩa.